关于$x^y$和$y^x$的大小判断问题的一点思考

关于\(x^y\)和\(y^x\)的大小判断问题的一点思考

不妨令\(x < y\)。

则设\(x = a,y = a + b,(a > 0,b > 0)\)。 \[ a^{a + b} > (a + b)^a \] \[ \Leftrightarrow a > (a + b) ^ {\frac a {a + b}} \] \[ \Leftrightarrow a > (a + b) ^ {(1 - \frac b{a + b})} \] \[ \Leftrightarrow a > (a + b) / ((a+b)^{\frac b{a + b}}) \]

\[ \Leftrightarrow (a+b)^{\frac b{a + b}} > (1 + \frac ba) \]

\[ \Leftrightarrow a + b > (1 + \frac ba) ^ {\frac {a + b}b} \]

\[ \Leftrightarrow a + b > (1 + \frac ba) ^ \frac ab \times \frac{a + b}{a} \]

\[ \Leftrightarrow a > (1 + \frac ba) ^ \frac ab \]

接下来对\(a\),\(b\)进行分类讨论：

• \(a > b\)。则\((1 + \frac ba) ^ \frac ab < e\)，所以\(a\)只要大于\(e\)，那么\(x^y > y^x\).若\(a <= 2\)，那么\(x^y < y^x\).

• \(a = b\)。则\((1 + \frac ba) ^ \frac ab = 2\),\(a\)只要大于2，\(x^y > y^x\).

• \(a < b\)。则\((1 + \frac ba) ^ \frac ab = (1 + k)^\frac 1k ,(k > 1)\),此时易证\((1 + k)^\frac 1k < 2 ,(k > 1)\)。

  反证法证明该结论：设\((1 + k)^\frac 1k = v (v \ge 2)\),则\(v^k = 1 + k\)。当\(v = 2,k = 1时\),\(v^1 = 2 = 1 + k\)，而指数函数增长迅速，所以当\(v = 2,k > 1\)时，\(v^k > 1 + k\)。而\(v \ge 2\),所以\(v^k > 2^k > 1 + k\)，两者不可能相等。

  所以此时只要\(a \ge 2\)，即可保证\(x^y > y^x\).